Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F分别为CD、PB的中点，。
（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAB；
（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是菱形，
∴，
在△ADE中，，
∴，
∴，
即，
又，
∴；
∵PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，
∴，
又∵，
∴AE⊥平面PAB，
又∵AE平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PAB；
（Ⅱ）由（1）知AE⊥平面PAB，而AE平面PAE，
∴平面PAE⊥平面PAB，
∵PA⊥平面ABCD，
∴，
由（Ⅰ）知，又
∴CD⊥平面PAE，
又CD平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAE，
∴平面PAE是平面PAB与平面PCD的公垂面，
所以，∠APE就是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角，
在Rt△PAE中，PE2=AE²+PA²=3+4=7，
即，
又PA=2，
∴，
所以，平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为。