题目内容
已知函数
．（I）当t=1时，若函数y=f（x+a）+b是奇函数，求实数a，b的值；
（II）当t＞1时，函数y=f（x）在区间（-2，t）上是否存在极值点？若存在，请找出极值点并论证是极大值点还是极小值点；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（I）当t=1时，记h（x）=f（x+a）+b=
，求导函数得h′（x）=x2+（2a-1）x+a2-a
根据h（x）为奇函数，可得
，利用 h′（x）为偶函数，得2a-1=0，从而可求实数a，b的值；
（II）
，令f′（x）=0解得：
，
，进而探求在导数为0的左右附近，导数符号的改变，从而确定极值点．
解答：解：（I）当t=1时，记h（x）=f（x+a）+b=
则h′（x）=x2+（2a-1）x+a2-a
∵h（x）为奇函数
∴
（1）------（3分）
且 h′（x）为偶函数 即2a-1=0（2）------（5分）
由（1）、（2）解得：
，
．------（7分）
（II）
令f′（x）=0解得：
，
------（9分）
（i）当1＜t＜4时，则有-2＜x1＜x2＜t
∴f′（x）在（-2，x1）和（x2，t）为正，在（x1，x2）为负
∴f（x）在（-2，x1）和（x2，t）上递增，在（x1，x2）上递减
此时，
为极大值点，
为极小值点；------（12分）
（ii）当t＞4时，有
＜x2＜t
∴f′（x）在（-2，x2）为负，（x2，t）为正
∴f（x）在（-2，x2）上递减，在（x2，t）上递增
此时，
为极小值点，无极大值点．------（15分）
点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值，关键是求导函数，并注意在导数为0的左右附近，导数符号的改变．
，求导函数得h′（x）=x2+（2a-1）x+a2-a根据h（x）为奇函数，可得
，利用 h′（x）为偶函数，得2a-1=0，从而可求实数a，b的值；（II）
，令f′（x）=0解得：
，
，进而探求在导数为0的左右附近，导数符号的改变，从而确定极值点．
解答：解：（I）当t=1时，记h（x）=f（x+a）+b=
则h′（x）=x2+（2a-1）x+a2-a
∵h（x）为奇函数
∴
（1）------（3分）且 h′（x）为偶函数 即2a-1=0（2）------（5分）
由（1）、（2）解得：
，
．------（7分）（II）
令f′（x）=0解得：
，
------（9分）（i）当1＜t＜4时，则有-2＜x1＜x2＜t
∴f′（x）在（-2，x1）和（x2，t）为正，在（x1，x2）为负
∴f（x）在（-2，x1）和（x2，t）上递增，在（x1，x2）上递减
此时，
为极大值点，
为极小值点；------（12分）（ii）当t＞4时，有
＜x2＜t∴f′（x）在（-2，x2）为负，（x2，t）为正
∴f（x）在（-2，x2）上递减，在（x2，t）上递增
此时，
为极小值点，无极大值点．------（15分）点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值，关键是求导函数，并注意在导数为0的左右附近，导数符号的改变．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=
（t为常数）．
，
处的切线方程；
在区间（0，1）内均存在零点。
（t为常数）．