Question

（2010•台州二模）已知函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-

2

3

(t-1)2x．
（I）当t=1时，若函数y=f（x+a）+b是奇函数，求实数a，b的值；
（II）当t＞1时，函数y=f（x）在区间（-2，t）上是否存在极值点？若存在，请找出极值点并论证是极大值点还是极小值点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）当t=1时，记h（x）=f（x+a）+b=

1

3

(x+a)3-

1

2

(x+a)2+b，求导函数得h′（x）=x²+（2a-1）x+a²-a
根据h（x）为奇函数，可得h(0)=

1

3

a3-

1

2

a2+b=0，利用 h′（x）为偶函数，得2a-1=0，从而可求实数a，b的值；
（II）f/(x)=x2-x-

2

3

(t-1)2，令f′（x）=0解得：x1=

1- 1+ 8 3 (t-1)2

2

，x2=

1+ 1+ 8 3 (t-1)2

2

，进而探求在导数为0的左右附近，导数符号的改变，从而确定极值点．

解答：解：（I）当t=1时，记h（x）=f（x+a）+b=

1

3

(x+a)3-

1

2

(x+a)2+b
则h′（x）=x²+（2a-1）x+a²-a
∵h（x）为奇函数
∴h(0)=

1

3

a3-

1

2

a2+b=0（1）------（3分）
且 h′（x）为偶函数  即2a-1=0（2）------（5分）
由（1）、（2）解得：a=

1

2

，b=

1

12

．------（7分）
（II）f/(x)=x2-x-

2

3

(t-1)2
令f′（x）=0解得：x1=

1- 1+ 8 3 (t-1)2

2

，x2=

1+ 1+ 8 3 (t-1)2

2

------（9分）
（i）当1＜t＜4时，则有-2＜x₁＜x₂＜t
∴f′（x）在（-2，x₁）和（x₂，t）为正，在（x₁，x₂）为负
∴f（x）在（-2，x₁）和（x₂，t）上递增，在（x₁，x₂）上递减
此时，x1=

1- 1+ 8 3 (t-1)2

2

为极大值点，x2=

1+ 1+ 8 3 (t-1)2

2

为极小值点；------（12分）
（ii）当t＞4时，有x1=

1- 1+ 8 3 (t-1)2

2

＜-2＜x₂＜t
∴f′（x）在（-2，x₂）为负，（x₂，t）为正
∴f（x）在（-2，x₂）上递减，在（x₂，t）上递增
此时，x2=

1+ 1+ 8 3 (t-1)2

2

为极小值点，无极大值点．------（15分）

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值，关键是求导函数，并注意在导数为0的左右附近，导数符号的改变．