题目内容

已知向量
a
=(sinx，-2cosx)，
b
=(sinx+
3
cosx，-cosx)，x∈R．函数f(x)=
a
•
b
．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[0，
π
2
]上的最大值和最小值．
分析：（1）利用函数f(x)=
a
•
b
，通过二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求出周期．
（2）x∈[0，
π
2
]，求出
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
6
，结合正弦函数的最值，求出函数f（x）在区间[0，
π
2
]上的最大值和最小值．
解答：解（1）f(x)=
a
•
b
=(sinx，-2cosx)•(sinx+
3
cosx，-cosx)
=sin2x+
3
sinxcosx+2cos2x=sin(2x+
π
6
)+
3
2
（4分）
∴f（x）的最小正周期是π（6分）
（2）由（I）知，f(x)=
a
•
b
=sin(2x+
π
6
)+
3
2

由0≤x≤
π
2
，得
π
6
≤2x+
π
6
≤
7π
6
，（8分）
∴-
1
2
≤sin(2x+
π
6
)≤1
∴f（x）的最大值是
5
2
，最小值是1．（12分）
点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，向量的数量积的应用，三角函数的闭区间上的最值的求法，考查计算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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