题目内容

（文）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁= $数学公式$ 且S_n=S_n-1+a_n-1+ $数学公式$ ，数列{b_n}满足b₁=- $数学公式$ 且3b_n-b_n-1=n（n≥2且n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n-a_n}为等比数列；
（3）求{b_n}前n项和的最小值．

解：（1）由S_n=S_n-1+a_n-1+ $\text{[math]}$ ，得S_n-S_n-1=a_n-1+ $\text{[math]}$ ，2a_n=2a_n-1+1，a_n-a_n-1+ $\text{[math]}$ …2分
∴a_n=a₁+（n-1）d= $\text{[math]}$ n- $\text{[math]}$
（2）证明：∵3b_n-b_n-1=n，∴b_n= $\text{[math]}$ b_n-1+ $\text{[math]}$ n，
∴b_n-a_n= $\text{[math]}$ b_n-1+ $\text{[math]}$ n- $\text{[math]}$ n+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ b_n-1- $\text{[math]}$ n+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （b_n-1- $\text{[math]}$ n+ $\text{[math]}$ ）；
b_n-1-a_n-1=b_n-1- $\text{[math]}$ （n-1）+ $\text{[math]}$ =b_n-1- $\text{[math]}$ n+ $\text{[math]}$ ；
∴由上面两式得 $\text{[math]}$ ，又b₁-a₁=- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =-30
∴数列{b_n-a_n}是以-30为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列．
（3）由（2）得b_n-a_n=-30× $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
b_n-b_n-1= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ＞0，∴{b_n}是递增数列
当n=1时，b₁=- $\text{[math]}$ ＜0；当n=2时，b₂= $\text{[math]}$ ＜0；
当n=3时，b₃= $\text{[math]}$ ＜0；当n=4时，b₄= $\text{[math]}$ ＞0，
所以，从第4项起的各项均大于0，故前3项之和最小．
且S₃= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用S_n-S_n-1=a_n，直接求出{a_n}的通项公式；
（2）直接求出数列b_n-a_n表达式，利用等比数列的定义证明数列{b_n-a_n}为等比数列；
（3）利用（2）求出数列的前几项，即可判断数列的符号，然后求{b_n}前n项和的最小值．
点评：本题是中档题，考查数列的递推关系式的应用，考查逻辑推理能力，计算能力，转化思想的应用．