Question

若点（x，y）是曲线

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)上的动点，且x²+2y的最大值为12，则b的值为

6

．

Answer 1

分析：由题意可得x2=4-

4y2

b2

代入x²+2y=4-

4y2

b2

+2y，可得关于y的二次函数，利用二次函数的性质进行求解即可

解答：解：∵P（x，y）是曲线

x2

4

+

y2

b2

=1(b＞0)上的动点，
∴x2=4-

4y2

b2

∴x²+2y=4-

4y2

b2

+2y=-

4

b2

(y2-

b2

2

y+

b4

16

 )+

b

4

2+4=-

4

b2

(y-

b2

4

)2+

b2

4

+4（*）
∵-b≤y≤b
①当b≤

b2

4

即b≥4时，y=b时（*）有最大值2b=12
∴b=6
②当b≥

b2

4

即0＜b＜4时，y=

b2

4

（*）有最大值

b2

4

+4=12
∴b=4

2

（舍）或b=-4

2

（舍）
综上可得，b=6
故答案为6

点评：本题主要考查了利用曲线方程求解二次函数在区间上的最大值，解题中要注意区间端点与对称轴的位置关系的讨论，体系了分类讨论思想的应用