Question

已知曲线C的极坐标方程为ρ2=

36	4cos2θ+9sin2θ

；
（1）若以极点为原点，极轴所在的直线为x轴，求曲线C的直角坐标方程；
（2）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求该点到直线2x+4y-5=0距离的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用极坐标系与直角坐标系的互化公式即可；
（2）利用椭圆的参数方程和点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可求出．

解答：解：（1）由曲线C的极坐标方程为ρ2=

36

4cos2θ+9sin2θ

即4ρ²cos²θ+9ρ²sin²θ=36化为直角坐标方程4x²+9y²=36，即

x2

9

+

y2

4

=1；
（2）∵P（x，y）是曲线C上的一个动点，∴可设

x=3cosθ y=2sinθ

，
根据点到直线的距离公式可得
d=

|6cosθ+8sinθ-5|

22+42

=

5 |10sin(θ+α)-5|

10

=

5 |2sin(θ+α)-1|

2

≤

3 5

2

，当且仅当sin（θ+α）=-1时取等号．
故P点到直线2x+4y-5=0距离的最大值为

3 5

2

．

点评：熟练掌握极坐标系与直角坐标系的互化公式、椭圆的参数方程和两角和的正弦公式及三角函数的单调性是解题的关键．