Question

(小题满分12分）

 如图1，平面四边形关于直线对称，．把沿折起（图2），使二面角的余弦值等于．对于图2，完成以下各小题：

（Ⅰ）求两点间的距离；

（Ⅱ）证明：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

（Ⅰ）解：在平面四边形中，连接交于，

∵平面四边形关于直线对称，

∴.

∴在四面体中，.

∴∠是二面角的平面角. ……………………2分

于是，

∵

∴,

由余弦定理得：

,

∴.……………………………………………………………………4分

(Ⅱ)证明：在中，,

∴,

∴,

由知平面,得,

平面,

∴平面.   ………………………………………………………………8分

(Ⅲ)在平面中，过点作,垂足为，

由（Ⅱ）中平面得：.所以平面.

∴是直线与平面所成的角.  ……………………………………10分

在中，.

故直线与平面所成角的正弦值是.  …………………………………12分