题目内容
底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为R的球的内接正三棱柱的体积的最大值为 ．
考点：球的体积和表面积
专题：计算题,空间位置关系与距离
分析：设底面正三角形的边长为a，然后根据勾股定理求得棱柱的高的一半，进而得到用a表示的三棱柱的体积，再利用基本不等式即可求得答案．
解答：
解：设球心为O，正三棱柱的上下底面的中心分别为O1，O2，底面正三角形的边长为a，
则AO2=
a．
由已知得O1O2⊥底面，
在Rt△OAO2中，∠AO2O=90°，由勾股定理得OO2=
，
∴V三棱柱=
a2×2
=
，
∵2（3R2-a2）+a2+a2≥3
，
∴
≤2R3，
∴V三棱柱≤R3，
故答案为：R3
则AO2=
| ||
| 3 |
由已知得O1O2⊥底面，
在Rt△OAO2中，∠AO2O=90°，由勾股定理得OO2=
R2-
|
∴V三棱柱=
| ||
| 4 |
R2-
|
| 1 |
| 2 |
| (3R2-a2)a4 |
∵2（3R2-a2）+a2+a2≥3
| 3 | 2(3R2-a2)a4 |
∴
| (3R2-a2)a4 |
∴V三棱柱≤R3，
故答案为：R3
点评：本题考查了球的内接正三棱柱的最大体积问题，考查基本不等式的运用，属于中档题．
练习册系列答案
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