题目内容
已知椭圆C：
+
=1(a＞b＞0)的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点S(0，-
)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以AB为直径的圆恒过点Q？若存在求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点S(0，-
| 1 |
| 3 |
分析：（Ⅰ）根据所构成的等腰直角三角形可得b=c，由斜边长可得c值，再由a2=b2+c2可求得a值；
（Ⅱ）先求出直线l为y轴、与x轴平行时圆的方程，联立方程组求出可能存在的点Q，然后作出一般证明：即证明以AB为直径的圆恒过点Q，只需分情况证明
⊥
，即证明
•
=0，联立方程组由韦达定理即可证得；
（Ⅱ）先求出直线l为y轴、与x轴平行时圆的方程，联立方程组求出可能存在的点Q，然后作出一般证明：即证明以AB为直径的圆恒过点Q，只需分情况证明
| QA |
| QB |
| QA |
| QB |
解答：解：（Ⅰ）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，得b=c，
又斜边长为2，即2c=2，解得c=1，故a=
c=
，
所以椭圆方程为
+y2=1．
（Ⅱ）当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2+(y+
)2=
；
当l为y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，
由
⇒
，
故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q（0，1）．
下证明Q（0，1）为所求：
若直线l斜率不存在，上述已经证明．
设直线l：y=kx-
，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
⇒(9+18k2)x2-12kx-16=0，△=144k2+64(9+18k2)＞0，
x1+x2=
，x1x2=
，
=(x1，y1-1)，
=(x2，y2-1)，
•
=x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+k2)x1x2-
(x1+x2)+
=(1+k2)
-
•
+
=0，
∴
⊥
，即以AB为直径的圆恒过点Q（0，1）．
又斜边长为2，即2c=2，解得c=1，故a=
| 2 |
| 2 |
所以椭圆方程为
| x2 |
| 2 |
（Ⅱ）当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2+(y+
| 1 |
| 3 |
| 16 |
| 9 |
当l为y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，
由
|
|
故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q（0，1）．
下证明Q（0，1）为所求：
若直线l斜率不存在，上述已经证明．
设直线l：y=kx-
| 1 |
| 3 |
由
|
x1+x2=
| 12k |
| 18k2+9 |
| -16 |
| 18k2+9 |
| QA |
| QB |
| QA |
| QB |
| 4k |
| 3 |
| 16 |
| 9 |
=(1+k2)
| -16 |
| 9+18k2 |
| 4k |
| 3 |
| 12k |
| 9+18k2 |
| 16 |
| 9 |
∴
| QA |
| QB |
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生对问题的探究能力及解决问题的能力，综合性强，难度较大．
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