Question

如图,已知曲线C₁:y=x³(x≥0)与曲线C₂:y=-2x³+3x(x≥0)交于点O、A,直线x=t(0<t<1)与曲线C₁、C₂分别相交于点B、D.

(1)写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系S=f(t);

(2)讨论f(t)的单调性,并求f(t)的最大值.

Answer 1

分析：本题主要考查如何以四边形的面积为载体构造目标函数、函数的导数、函数的单调性等基础知识,考查运算能力和利用导数研究函数的单调性,从而确定函数的最值.

解：(1)解方程组

得交点O、A的坐标分别为(0,0)、(1,1).       

f(t)=S_△ABD+S_△OBD=|BD|·|1-0|=|BD|=(-2t³+3t-t³)=(-3t³+3t),

即f(t)=-(t³-t)(0<t<1).                      

(2)f′(t)=-t²+.                        

令f′(t)=-t²+=0,得t=,t=-(舍去).

当0<t<时,f′(t)>0,从而f(t)在区间(0,)上是增函数;   

当<t<1时,f′(t)<0,从而f(t)在区间(,1)上是减函数.

所以当时,f(t)有最大值f()=.