Question

我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知、是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

A

解析试题分析：记F₁P=m，F₂P=n，F₁F₂=2c，由余弦定理得(2c)²=m²+n²-2mncos60⁰，即4c²=m²+n²-mn。
设a₁是椭圆的长半轴，a₂是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a₁，m-n=2a₂，即m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得a₁²-4a₁a₂+a₂²=0，可求得a₁=3a₂，e₁×e₂= 。所以这一对相关曲线中双曲线的离心率是。
考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质；余弦定理。
点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，考查了椭圆与双曲线的性质，解题的关键是理解定义，且灵活应用定义。本题考查了阅读能力及推理判断的能力，本部分题符号计算多，运算量大，解题时要认真严谨，避免马虎出错。