题目内容
在△ABC中，AM：AB=1：3，AN：AC=1：4，BN与CM交于点E，| AB |
| a |
| AC |
| b |
| a |
| b |
| AE |
分析：利用平面向量基本定理进行转化与求解，关键要确定点E在AC上的具体位置，可以利用待定系数法设出两向量的倍数关系，选取
为基底，用两种不同方法表示出
，利用表示法唯一确定出点E的准确位置．
| AB， |
| AC |
| AE |
解答：解：由已知得
=
，
=
．
设
=λ
，λ∈R，则
=
+
=
+λ
．
而
=
-
，
∴
=
+λ（
-
）
=
+λ（
-
）．
∴
=（
-
）
+λ
．
同理，设
=t
，t∈R，
则
=
+
=
+t
=
+t（
-
）=
+t（
-
）．
∴
=（
-
）
+t
．
∴（
-
）
+λ
=（
-
）
+t
．
由
与
是不共线向量，得
解得
∴
=
+
，
即
=
+
．
| AM |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| AN |
| 1 |
| 4 |
| AC |
设
| ME |
| MC |
| AE |
| AM |
| ME |
| AM |
| MC |
而
| MC |
| AC |
| AM |
∴
| AE |
| AM |
| AC |
| AM |
=
| 1 |
| 3 |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 3 |
| AB |
∴
| AE |
| 1 |
| 3 |
| λ |
| 3 |
| AB |
| AC |
同理，设
| NE |
| NB |
则
| AE |
| AN |
| NE |
| 1 |
| 4 |
| AC |
| NB |
| 1 |
| 4 |
| AC |
| AB |
| AN |
| 1 |
| 4 |
| AC |
| AB |
| 1 |
| 4 |
| AC |
∴
| AE |
| 1 |
| 4 |
| t |
| 4 |
| AC |
| AB |
∴（
| 1 |
| 3 |
| λ |
| 3 |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 4 |
| t |
| 4 |
| AC |
| AB |
由
| AB |
| AC |
|
解得
|
| AE |
| 3 |
| 11 |
| AB |
| 2 |
| 11 |
| AC |
即
| AE |
| 3 |
| 11 |
| a |
| 2 |
| 11 |
| b |
点评：此题所涉及的量较多，且向量与向量之间的关系较为复杂，因此对学生来说确有一定困难．通过共线向量，增加辅助量来理清向量之间关系是“探索”之所在，即对基本定理的深化及应用．考查学生对平面向量基本定理的认识和理解．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，
=a，
=b，用a、b表示
.
在△ABC中，AM：AB=1：3，AN：AC=1：4，BN与CM交于点E，
=
，
=
，用
、
表示
．