Question

设a为实数，函数f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：第一问考查函数的奇偶性，用特殊值法判断函数及不是奇函数又不是偶函数；第二问是求最值的题目，先判断函数的单调性再求最值．
解答：解：（1）当a=0时，函数f（-x）=（-x）²+|-x|+1=f（x）
此时，f（x）为偶函数
当a≠0时，f（a）=a²+1，f（-a）=a²+2|a|+1，f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a）
此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数
（2）①当x≤a时，
当，则函数f（x）在（-∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a²+1．
若，则函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为，且．
②当x≥a时，函数
若，则函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为，且
若，则函数f（x）在[a，+∞）上单调递增，从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）=a²+1．
综上，当时，函数f（x）的最小值为
当时，函数f（x）的最小值为a²+1
当时，函数f（x）的最小值为．
点评：本题为函数的最值和奇偶性的考查；是高考常考的知识点之一；而求最值时需要注意的是先判断函数的单调性．