题目内容

在△ABC中，若
AB
•
BC
3
=
BC
•
CA
2
=
CA
•
AB
1
，则cosA=
3
6
3
6
．
分析：把给出的向量等式变形，写出数量积公式，代入三角形两边的乘积，把向量等式转化为三角等式得到tanA，tanB，tanC的关系，然后利用三角形内角的关系，结合两角和的正切公式进一步得到tanA，tanB，tanC的关系，换元后求解方程计算．
解答：解：由
AB
•
BC
3
=
BC
•
CA
2
=
CA
•
AB
1
，得
BA
•
BC
3
=
CB
•
CA
2
=
AC
•
AB
，
设BA=c，BC=a，CA=b，△ABC的面积为S，
则S=
1
2
bcsinA，bc=
2S
sinA
．
又∵
AC
•
AB
=bc•cosA，将bc=
2S
sinA
代入
AC
•
AB
=bc•cosA得：
AC
•
AB
=
2S
tanA
，
∴原式即可化为
2S
3tanB
=
2S
2tanC
=
2S
tanA
，
即：3tanB=2tanC=tanA，
由tanA=-tan（B+C）=-
tanB+tanC
1-tanB•tanC
，
设tanA=x，则tanB=
x
3
，tanC=
x
2
．
∴x=
x
3
+
x
2
x
3
•
x
2
-1
，解得：x=
11
或x=-
11
 （舍）．
∴tanA=
11
．
∴cosA=
1
1+tan2A
=
1
1+11
=
3
6
．
故答案为：
3
6
．
点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了正弦定理及两角和的正切的应用，训练了换元法，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知在△ABC中，若
AB
•
AC
=
BA
•
BC
，则△ABC的形状是（　　）
A、直角三角形
B、正三角形
C、等腰三角形
D、等腰直角三角形
在△ABC中，若
AB
•
AC
=
AB
•
CB
=4，则边AB的长等于
 
．
精英家教网（1）如图，平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知
AM
=
c
、
AN
=
d
，试用
c
、
d
表示
AB
和
AD
．
（2）在△ABC中，若
AB
=
a
，
AC
=
b
若P，Q，S为线段BC的四等分点，试证：
AP
+
AQ
+
AS
=
3
2
(
a
+
b
)；
给出下列五个结论：
①?x∈R，2x＞x2
②“若x2＜1，则-1＜x＜1”的逆否命题是“若-1＜x＜1，则x2≥1”；
③要得到y=cos2x的图象，只需要将y=sin（2x+
π
4
）的图象向左平移
π
8
个单位；
④在△ABC中，若
AB
•
CA
＞0，则∠A为锐角；
⑤函数f（x）=sin（2x+
π
3
）在[0，
π
12
]上是增函数，在[
π
12
，
π
2
]上是减函数．
其中正确结论的序号是
③⑤
③⑤
．（填写你认为正确的所有结论序号）
给出下列命题：
（1）设
a
、
b
都是非零向量，则“
a
•
b
=±|
a
|•|
b
|”是“
a
、
b
共线”的充要条件
（2）将函数y=sin（2x+
π
3
）的图象向右平移
π
3
个单位，得到函数y=sin2x的图象；
（3）在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠ABC=
π
3
，则△ABC必为锐角三角形；
（4）在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点；
其中正确命题的序号是
（1）（3）
（1）（3）
（写出所有正确命题的序号）．

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