Question

已知sin(α+

3π

4

)=

4

5

，cos(

π

4

-β)=

3

5

，且-

π

4

＜α＜

π

4

，

π

4

＜β＜

3π

4

，求cos2（α-β）的值．

Answer 1

分析：先利用和角公式求出cos[（α+

3

4

π）+（

π

4

-β）]即-cos（α-β）的值，然后利用二倍角的余弦公式求得cos2（α-β）的值，注意判断三角函数值的符号．

解答：解：由-

π

4

＜α＜

π

4

得，

π

2

＜α+

3

4

π＜π，
所以cos（α+

3

4

π）=-

1-sin2(α+ 3 4 π)

=-

3

5

，
由

π

4

＜β＜

3

4

π得，-

π

2

＜

π

4

-β＜0，
所以sin（

π

4

-β）=-

1-cos2( π 4 -β)

=-

4

5

，
所以cos[（α+

3

4

π）+（

π

4

-β）]
=cos（α+

3

4

π）cos（

π

4

-β）-sin（α+

3

4

π）sin（

π

4

-β）
=（-

3

5

）×

3

5

-

4

5

×(-

4

5

)=

7

25

，即-cos（α-β）=

7

25

，
所以cos2（α-β）=2cos²（α-β）-1=2×(-

7

25

)2-1=-

527

625

．

点评：本题考查二倍角的余弦、两角和与差的余弦公式，考查学生的运算求解能力，属中档题．