Question

（2012•长宁区二模）已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足

a

2 n

=S2n-1，n∈N^*．数列{b_n}满足bn=

1

an

-

1

an+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求a₁、d和T_n；
（2）是否存在实数λ，使对任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8恒成立？若存在，请求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由

a

2 n

=S2n-1，令n=1可求数可a₁，由n=2可求公差d，利用等差数列的通项公式可求a_n，进而可求b_n，结合数列的特点，考虑利用裂项相消法可求和T_n
（2）由已知可求λ＜

(2n+1)(n+8)

2n

=

1

2

(2n+

8

n

+17)，结合基本不等式可求

1

2

(2n+

8

n

+17)最小值，从而可求λ的范围

解答：解：（1）由题意可得，

a

2 1

=S1=a1，
∵a₁≠0，
∴a₁=1．…．（1分）
∵

a

2 2

=S3=a1+a2+a3，
∴（1+d）²=3+3d，
∴d=-1，2，当d=-1时，a₂=0不满足条件，舍去．
因此d=2．…．（4分）
∴a_n=2n-1，
∴bn=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴Tn=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

∴Tn=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

．…．（6分）
（2）由题意可得，λ•

2n

2n+1

＜n+8，
∴λ＜

(2n+1)(n+8)

2n

=

1

2

(2n+

8

n

+17)，…．（8分）
∵2n+

8

n

≥8，当n=2时等号成立，…．（10分）
∴

1

2

(2n+

8

n

+17)最小值为

25

2

，…．（12分）
因此λ＜

25

2

．                 …．（14分）

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及由数列的递推公式求解数列的项，裂项求和方法的应用及基本不等式在最值求解中的应用，属于知识的综合应用