Question

已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，底面半径OC与母线PB所成的角的大小等于θ．
（1）当θ=60°时，求异面直线MC与PO所成的角；
（2）当三棱锥M-ACO的体积最大时，求θ的值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间角

分析：（1）过点M作MD⊥AO，从而MD∥PO，∠DMC即异面直线MC与PO所成的角；（2）当三棱锥M-ACO的体积最大时，其高为

5

，只需棱锥底面△ACO面积最大，即可，从而求得θ值．

解答： （12分） 解：（1）连MO，过M作MD⊥AO交AO于点D，连DC．
又PO=

62-42

=2

5

，∴MD=

5

．又OC=4，OM=3．
又MD∥PO，∴∠DMC等于异面直线MC与PO所成的角或其补角．
∵MO∥PB，∴∠MOC=60°或120°．…（5分）
当∠MOC=60°时，∴MC=

13

．
∴cos∠DMC=

MD

MC

=

65

13

，∴∠DMC=arccos

65

13

当∠MOC=120°时，∴MC=

37

．∴cos∠DMC=

MD

MC

=

185

37

，∴∠DMC=arccos

185

37

综上异面直线MC与PO所成的角等于arccos

65

13

或arccos

185

37

．…（8分）
（2）∵三棱锥M-ACO的高为MD且长为

5

，要使得三棱锥M-ACO的体积最大只要底面积△OCA的面积最大．而当OC⊥OA时，△OCA的面积最大．…（10分）
又OC⊥OP，此时OC⊥平面PAB，∴OC⊥PB，θ=90°．…（12分）

点评：本题考查异面直线所成的角，及三棱锥体积最值问题，数中档题．