Question

【题目】如图，在直四棱柱 中，底面 是边长为2的正方形， 分别为线段 ， 的中点.

（1）求证： ||平面 ；
（2）四棱柱 的外接球的表面积为 ，求异面直线 与 所成的角的大小.

Answer 1

【答案】
（1）解：连接 ，在 中， 分别为线段 的中点，∴ 为中位线，

∴ ，而 面 ， 面 ，∴ 平面 .

（2）解：由（1）知 ，故 即为异面直线 与 所成的角.

∵四棱柱 的外接球的表面积为 ，

∴四棱柱 的外接球的半径 ，

设 ，则 ，解得 ，

在直四棱柱 中，∵ 平面 ， 平面 ，

∴ ，在 中， ，

∴ ，

∴异面直线 与 所成的角为 .

【解析】（1）证明线面平行，关键是线线平行，而线线平行主要是中位线或平行四边形相对两边，因此连接即可。
（2）根据外接球的表面积可得外接球半径，根据长方体和外接球半径的关系可得的大小，再根据异面直线的定义转化成直线与BC所成角，放在三角形中可得。