Question

【题目】设函数.

（1）当时，对于一切，函数在区间内总存在唯一零点，求的取值范围；

（2）当时，数列的前项和，若是单调递增数列，求的取值范围；

（3）当，时，函数在区间内的零点为，判断数列、、、、的增减性，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）递增，理由详见解析.

【解析】

（1）分析出函数在区间上为增函数，由可得出关于的不等式组，从而解出实数的取值范围；

（2）由题意得出，利用求出数列的通项公式，然后由数列为递增数列，得出，利用作差法得出关于的不等式，从而得出实数的取值范围；

（3）由题意得出，利用放缩法证明出，然后利用函数在区间上单调递增得出，然后利用数列单调性的定义可得出数列、、、、的增减性.

（1）当时，在上是增函数，

由于函数在区间上有唯一零点，则，

，，，.

因此，实数的取值范围是；

（2）当时，，则.

当时，；

当时，.

.

由于数列是递增数列，对任意的，.

于是有且恒成立.

由，得，解得.

当时，由，得，可得.

构造数列，则，

所以，数列为单调递减数列，当时，，.

综上所述，实数的取值范围是；

（3）数列、、、、为递增数列，证明如下：

当，时，，该函数在上单调递增.

由函数零点的定义可得.

，，，

由于函数在上单调递增，所以，.

因此，数列、、、、为递增数列.