Question

动点P到定点F（1，0）和定直线x=3的距离之和为4；
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）过点F做斜率为k的直线交P点的轨迹于AB两点|AB|=f（k），求f（k）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题设条件动点P到定直线l：x=3与到定点F（1，0）的距离之和为4，由此等量关系建立方程求得动点P的轨迹方程；
（2）设直线AB的方程为y=k（x-1），易求得曲线y²=4x与曲线y²=-12（x-4）的交点为(3，2

3

)和(3，-2

3

)，从而可得到，当A、B两点都在曲线y²=4x（0≤x≤3）上时，|k|≥

3

；当点A在曲线y²=4x（0≤x≤3）上，点B在曲线y²=-12（x-4）（3≤x≤4）上时，|k|≤

3

．进而分类讨论即可．

解答：解：（1）设P（x，y），由题意有

(x-1)2+y2

+|x-3|=4
当x≥3时，有

(x-1)2+y2

+x-3=4，整理得y²=-12（x-4）；
当x＜3时，有

(x-1)2+y2

-x+3=4，整理得y²=4x
故点P的轨迹方程为y2=

4x(0≤x＜3) -12(x-4)(3≤x≤4)

（2）设直线AB的方程为y=k（x-1），易求得曲线y²=4x与曲线y²=-12（x-4）的交点为(3，2

3

)和(3，-2

3

)，从而可得到，当A、B两点都在曲线y²=4x（0≤x≤3）上时，|k|≥

3

；当点A在曲线y²=4x（0≤x≤3）上，点B在曲线y²=-12（x-4）（3≤x≤4）上时，|k|≤

3

．
（i）当A、B两点都在曲线y²=4x（0≤x≤3）上时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y2=4x y=k(x-1)

，得k2x2-2(k2+2)x+k2=0，故x1+x2=-2+

4

k2

于是，|AB|=f(x)=2+x1+x2=4+

4

k2

(|k|≥

3

)，所以f(k)≤

16

3

，当且仅当|k|=

3

时取等号．
（ii）当点A在曲线y²=4x（0≤x≤3）上，点B在曲线y²=-12（x-4）（3≤x≤4）上时，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
当0＜|k|≤

3

时，由

y2=4x y=k(x-1)

，解得x1=1+

2-2 k2+1

k2

由

y2=-12(x-4) y=k(x-1)

，解得x2=1+

6 k2+1 -6

k2

因为曲线y²=4x（0≤x≤3）的准线为x=-1，焦点为F（1，0），曲线y²=-12（x-4）（3≤x≤4）的准线为x=7，焦点为F（1，0），所以|FA|=x₁+1，|FB|=7-x₂，所以|AB|=f(k)=|FA|+|FB|=8+x1-x2=8+

8-8 k2+1

k2

(0＜|k|≤

3

)
故f(k)≤

16

3

，当且仅当|k|=

3

时取等号．
当k=0时，易知|AB|=4．
综上知，f（k）的最大值为

16

3

．

点评：本题以轨迹方程为载体，考查求轨迹方程，同时考查直线与曲线的位置关系．解题的关键是理解题意，找出等量关系，从而建立起关于动点P的坐标的方程，这是求轨迹方程时常用方法，也是一个常规方法，应总结此方法的步骤规律