Question

在直角坐标系xOy中，设动点P到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=-1的距离相等，记P的轨迹为Γ．又直线AB的一个方向向量

d

=(1，2)且过点（1，0），AB与Γ交于A、B两点，求|AB|的长．

Answer 1

分析：根据抛物线的定义得动点P的轨迹Γ是抛物线，求出其方程为y²=4x．由直线方程的点斜式，算出直线AB的方程为y=2x-2，再将直线方程与抛物线方程联解，并结合抛物线的定义加以计算，可得线段AB的长．

解答：解：∵动点P到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=-1的距离相等，
∴由抛物线的定义，可得动点P的轨迹Γ是抛物线，
设其方程为y²=2px，由

p

2

=1得2p=4，
∴抛物线的方程为y²=4x，即为曲线Γ的方程．
∵直线AB的一个方向向量

d

=(1，2)，过点（1，0），
∴直线AB的斜率k=2，方程为y=2（x-1），即y=2x-2．
设直线l与曲线Γ的交点坐标为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

y=2x-2 y2=4x

，整理得x²-3x+1=0，可得x₁+x₂=3．
∴根据抛物线的定义，可得|AB|=x₁+x₂+p=2+x₁+x₂=5．

点评：本题给出动点满足的条件，求动点的轨迹并依此求直线被曲线截得的弦长．着重考查了抛物线的定义与标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．