Question

在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（1，0）的距离与定直线l：x=-1的距离相等．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）过点F作倾斜角为45°的直线m交轨迹E于点A，B，求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）先设P（x，y），由抛物线定义知点P的轨迹E为抛物线，写出其标准方程即可；
（2）l：y=x-1，代入y²=4x，消去x，得到关于y的一元二次方程，再设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求得A、B两点间的垂直距离|y₁-y₂|，后即可由三角形的面积公式得出△AOB的面积，这里只须求出两点的垂直的距离乘以线段OF的长度即可．

解答：解：（1）设P（x，y），
由抛物线定义知点P的轨迹E为抛物线，
其方程为：y²=4x．
（2）l：y=x-1，代入y²=4x，消去x，得y²-4y-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y _1，2=2±2

2

∴|y₁-y₂|=4

2

∴△AOB的面积：

1

2

×OF×| y1 -y2|
=

1

2

×1×4

2

=2

2

．

点评：本题主要考查了抛物线的定义，以及设而不求的思想方法、方程思想，属于基础题．