Question

已知数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，且满足4S_n=（a_n+1）²
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

an•an+1

，数列{b_n}前n项和为T_n，求T_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）由4S_n=（a_n+1）²，得4S_n+1=（a_n+1+1）²，两者作差，研究{a_n}的相邻项的关系，由此关系求其通项即可．
（2）由（1）可得bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)•[2(n+1)-1]

=

1

2

×(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，裂项求和即可．

解答：解：（1）由题设条件知4S_n=（a_n+1）²，得4S_n+1=（a_n+1+1）²，两者作差，得4a_n+1=（a_n+1+1）²-（a_n+1）²．
整理得（a_n+1-1）²=（a_n+1）²．
又数列{a_n}各项均为正数，所以a_n+1-1=a_n+1，即a_n+1=a_n+2，
故数列{a_n}是等差数列，公差为2，又4S₁=4a₁=（a₁+1）²，解得a₁=1，故有a_n=2n-1
（2）由（1）可得bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)•[2(n+1)-1]

=

1

2

×(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴T_n=

1

2

×(

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

×(1-

1

2n+1

)
由其形式可以看出，T_n关于n递增，故其最小值为T₁=

1

3

点评：本题考查数列求和，求解的关键是根据其通项的形式将其项分为两项的差，采用裂项求和的技巧求和，在裂项时要注意分母上两个因子相差2不是1，故裂项后应乘以

1

2

，此是裂项时空间出错的地方．