Question

1．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等边三角形，侧棱AA₁⊥平面ABC，AB=2，AA₁=2$\sqrt{3}$，D、E分别为AA₁、BC₁的中点．
（1）求证：DE⊥平面BB₁C₁C；
（2）求BC与平面BC₁D所成角．

Answer 1

分析 （1）取BC，B₁C₁的中点F、G，连结FG、AF可得AF∥DE，可证AF⊥平面BB₁C₁C，从而证DE⊥平面BB₁C₁C．
（2）证明平面BC₁D⊥平面BB₁C₁C，过C作CM⊥BC₁，则CM⊥平面BC₁D，可得∠BCC₁是BC与平面BC₁D所成角，即可得出结论．

解答 （1）证明：如图
取BC，B₁C₁的中点F、G，连结FG、AF，∴AF⊥BC，
又AA₁⊥平面ABC，BB₁∥AA₁
∴BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥AF；
B₁B∩BC=B，
∴AF⊥平面BB₁C₁C，
又AD∥EF，且AD=EF=$\frac{1}{2}$AA₁，∴DE∥AF
∴DE⊥平面BB₁C₁C．
（2）解：∵DE⊥平面BB₁C₁C，DE?平面BC₁D，
∴平面BC₁D⊥平面BB₁C₁C，
过C作CM⊥BC₁，则CM⊥平面BC₁D，
∴∠BCC₁是BC与平面BC₁D所成角．
∵AB=2，AA₁=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠BCC₁=$\sqrt{3}$，
∴∠BCC₁=60°

点评 本题考查线面垂直的判定，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．