Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，直线的倾斜角为，椭圆上的点到焦点的最大距离为3．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若经过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且，两点均在轴的左侧，记和的面积分别为和，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根据直线的倾斜角为可得，椭圆上的点到焦点的最大距离为3，可得，再结合可解得，，从而可得椭圆的标准方程为．

（2）①当直线斜率不存在时，；②当直线斜率存在时，设直线方程为，，，显然的，同号，联立，根据韦达定理求得，再根据函数在上单调递增可求得，进一步求得.

（1）因为椭圆方程为，直线的倾斜角为，

所以在中（为坐标原点），，所以，

因为椭圆上的点到焦点的最大距离为3，

所以，所以．

因为，

所以，解得或，

又，所以，，

所以椭圆的标准方程为．

（2）①当直线斜率不存在时，直线方程为，

此时，，与的面积相等，．

②当直线斜率存在时，因为，两点均在轴的左侧，

设直线方程为，，，显然的，同号，

由，得，

显然，方程有实根，

由韦达定理知的，，

又，所以或，

此时

因为或，所以．

因为函数在上单调递增，所以，

所以，

所以．

当直线的斜率存在时，．

综上所述，的取值范围为．