题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，抛物线
与椭圆
相交所得的线段长为3，椭圆的左、右焦点分别为
，
，动点
在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线
与的另一个交点为
，过，分别作直线
的垂线，垂足为
，
，
与
轴的交点为
.若
，
，
的面积成等差数列，求直线
斜率的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）由椭圆，抛物线的对称性得出点
在椭圆上，代入椭圆方程，结合离心率，即可得出椭圆方程；
（2）设直线
的方程为
，并与椭圆方程联立，由韦达定理得出
，
，设
，
，
的面积分别为
，
，
，由等差数列的性质得出
，结合三角形面积公式以及梯形面积公式，整理得出
，进而得出
，由
得出
，即可得出直线斜率的取值范围.
（1）由题意可知，抛物线
与椭圆
相交所得弦长为3
由
，得
∴点在椭圆上，∴
①
又
，∴
，∴
②
由①②联立，解得
，
，所以椭圆的方程为.
（2）依题意，直线与
轴不重合，故可设直线的方程为，
由
消去得：
，
设
，
，则有
且
，
.
设，，的面积分别为，，
因为，，成等差数列，所以
，即，
则
，
即
，得，
又
，
，于是
，
所以，由得
，解得，
设直线的斜率为
，则
，所以
，
解得
或
所以直线斜率的取值范围是.
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【题目】某学校为了了解该校高三年级学生寒假在家自主学习的情况，随机对该校300名高三学生寒假的每天学习时间（单位：h）进行统计，按照
，
，
，
，
的分组作出频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）根据频率分布直方图计算该校高三年级学生的平均每天学习时间（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；
（Ⅱ）该校规定学习时间超过4h为合格，否则不合格．已知这300名学生中男生有140人，其中合格的有70人，请补全下表，根据表中数据，能否有99.9%的把握认为该校高三年级学生的性别与学习时长合格有关？
男生 | 女生 | 总计 | |
不合格 | |||
合格 | 70 | ||
总计 | 140 | 160 | 300 |
参考公式：
，其中
．
参考附表：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
