Question

在正三棱锥P-ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB=4，PA=8，过A作与PB，PC分别交于D和E的截面，则截面△ADE的周长的最小值是______．

Answer 1

三棱锥的侧面展开图，如图，
△ADE的周长的最小值为AA₁，
在△PAB中，sin

1

2

∠APB=

2

8

=

1

4

，∴cos∠APB=1-2sin²

1

2

∠APB=

7

8

，
在△APA₁中，∴sin

1

2

∠APA₁=sin（∠APB+

1

2

∠APB）=sin∠APBcos

1

2

∠APB+cos∠APBsin

1

2

∠APB=

15

8

×

15

4

+

7

8

×

1

4

=

11

16

，
所以AA₁=2PA×sin

1

2

∠APA₁=11，
故答案为：11．