Question

【题目】已知函数，其中，为自然对数的底数.

（1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求的值；

（2）关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；

（3）讨论函数极值点的个数.

Answer 1

【答案】（1）-1；（2）；（3）详见解析.

【解析】

（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为，解方程可得的值；

（2）由题意可得，令，运用参数分离和构造，求得单调性，可得的范围；

（3）求出函数的导数，令，由，即为，运用参数分离，令，可得，求得的单调区间，可得的范围，即有的极值点的个数.

（1）函数的导数为：

图象在处的切线斜率为

切线与直线垂直，可得

解得

（2）关于的不等式在上恒成立

即为在恒成立.

即有

令，可得

令，

即在递减

当时，，可得

可得，即的取值范围是

（3）由的导数为

令，由

即为

若时，方程不成立

若时，

令，可得

当即时，递减；即时，递增；

时，递减.

则当时，

显然，递增；或时，递减

即有为极值点；

当时，有一个解，有一个极值点；

当时，有三个解，有三个极值点

综上可得，时，有一个极值点；

时，有一个极值点；

时，有三个极值点