Question

1．（ax-1）lgx＞0恒成立，则a的值为1．

Answer 1

分析 依题意，对x∈（0，1]，x∈[1，+∞）分类讨论，构造f（x）=$\frac{1}{x}$，利用函数的单调性即可求得实数a的值．

解答 解：∵（ax-1）lgx＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴当x∈（0，1）时，lgx＜0，
∴ax-1＜0，
∴a＜$\frac{1}{x}$（0＜x＜1），
令f（x）=$\frac{1}{x}$，则f（x）在（0，1）上单调递减，
∴f（x）_min＞f（1）=1，
∴a＜1．①
当x∈（1，+∞）时，lgx＞0，
∴（ax-1）lgx＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立
?ax-1＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
同理可求a＞f（x）_max＞f（1）=1．②
由①②得：a=1．
故答案为：1．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查构造函数与分类讨论思想，考查函数的单调性，属于中档题．