题目内容

13．已知数列{an}首项a1=5，前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn+n+5，求证：{an+1}是等比数列．

分析 由已知递推式得Sn=2Sn-1+n+4，由原递推式和该递推式作差后得到an+1=2an+1，两边同时加1后可证数列{an+1}是以2为公比的等比数列．

解答 证明：由Sn+1=2Sn+n+5，①
得Sn=2Sn-1+n-1+5，
即Sn=2Sn-1+n+4，②
①-②得：an+1=2an+1，
∴an+1+1=2（an+1），
∵a1+1=5+1=6≠0，
∴$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}=2$．
∴数列{an+1}是以2为公比的等比数列．

点评 本题考查了数列递推式，考查了构造法构造等比数列，是中档题．

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