Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，nS_n+1-（n+1）S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，n∈N^*
（1）求a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，nS_n+1-（n+1）S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，n∈N^*，令n=1，解出即可．
（2）由nS_n+1-（n+1）S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，n∈N^*，变形为：$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}-\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$，利用等差数列的通项公式可得$\frac{{S}_{n}}{n}$，再利用S_n与a_n的关系即可得出．

解答 解：（1）由a₁=1，nS_n+1-（n+1）S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，n∈N^*，令n=1，则S₂-2S₁=1，
∴a₂+1-2=1，解得a₂=2．
（2）由nS_n+1-（n+1）S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，n∈N^*，变形为：$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}-\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列$\{\frac{{S}_{n}}{n}\}$是等差数列，首项为1，公差为$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=1+$\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n+1}{2}$，
∴S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴当n≥2时，S_n-1=$\frac{n（n-1）}{2}$，
a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{n（n-1）}{2}$=n，
∴a_n=n．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．