Question

已知椭圆C长轴的两个顶点为A（－2，0），B（2，0），且其离心率为.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若N是直线x=2上不同于点B的任意一点，直线AN与椭圆C交于点Q，设直线QB与以NB为直径的圆的一个交点为M（异于点B），求证：直线NM经过定点．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

解析试题分析：（Ⅰ）根据斜率公式，有斜率乘积等于整理即得，注意；（Ⅱ）设直线的方程，与椭圆方程组成方程组，消去，由韦达定理求点的坐标，根据直线与以为直径的圆的另一个交点为，得，从而得到直线的方程，确定恒过的定点.
试题解析：(Ⅰ)设,由得  ,其中,
整理得点的轨迹方程为.                   (4分)
（Ⅱ）设点，则直线的方程为，
解方程组，消去得，
设，则，，（8分）
从而，又，

直线与以为直径的圆的另一个交点为，，
方程为,即,过定点,        (12分)
考点：椭圆方程，直线与椭圆的关系，定点问题.