Question

12．己知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中左焦点F（-2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m（m＞0）与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x²+y²=1上，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）由题意得到关于a，b，c的不等式组，求解不等式组得到a，b，c的值，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B中的坐标，代入圆x²+y²=1求得m值，再由弦长公式求得|AB|．

解答 解：（1）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{c=2}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得：a²=8，b²=4．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-8=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-8}{3}$．
∴${y}_{1}+{y}_{2}={x}_{1}+{x}_{2}+2m=-\frac{4m}{3}+2m=\frac{2m}{3}$，
∴A，B的中点坐标为（$-\frac{2m}{3}，\frac{m}{3}$），
又线段AB的中点M在圆x²+y²=1上，
∴$（-\frac{2m}{3}）^{2}+（\frac{m}{3}）^{2}=1$，解得：$m=\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4}{3}×\frac{3\sqrt{5}}{5}=-\frac{4\sqrt{5}}{5}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2×（\frac{3\sqrt{5}}{5}）^{2}-8}{3}$=$-\frac{22}{15}$．
则|AB|=$\sqrt{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}\sqrt{（-\frac{4\sqrt{5}}{5}）^{2}+4×\frac{22}{5}}$=$\frac{4\sqrt{65}}{5}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，训练了弦长公式的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．