Question

（本小题满分12分）如图，为正三角形，平面，，为的中点，，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）作的中点，只需证明即可；（Ⅱ）可以建立坐标系，利用法向量求解，也可以证明平面与平面所成的锐二面角就是∠EAC，再计算即可.

试题解析：（Ⅰ）证明：作的中点，连结．

在中，，又据题意知，．

∴，∴四边形为平行四边形．

∴，又平面，平面．

∴平面． 4分

（Ⅱ）∵，∴平面．

在正中，，∴三线两两垂直．

分别以为轴，建系如图．

则，，．

∴，．

设平面的一个法向量为，

则，即，令，则．

∴平面的一个法向量为．

又平面的一个法向量为．

∴．

∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 8分

考点：空间线面关系，二面角