题目内容
已知二次函数f（x）=x2+tx（t＞0）在区间[-1，0]上的最小值为-1．
（1）求t的值；
（2）记Sn为数列{an}的前n项和，且a1=1，an＞0（n∈N*），点(
+
，
2an+1)在函数f（x）的图象上，求Sn的表达式．
（1）求t的值；
（2）记Sn为数列{an}的前n项和，且a1=1，an＞0（n∈N*），点(
| Sn+1 |
| Sn |
分析：（1）f（x）=x2+tx=(x+
)2-
．由于x∈[-1，0]，故需要进行分类讨论：①-1≤-
＜0，即0＜t≤2；②-
＜-1即t＞2，根据最小值为-1，可求t的值；
（2）由（1）得f（x）=x2+2x，根据点(
+
，
2an+1)在函数f（x）的图象上，可得2an+1=(
+
)2+2(
+
)，化简可得
+1=3(
+1)，所以数列{
+1}是首项为
+1=2，公比为3的等比数列，故可求Sn的表达式．
| t |
| 2 |
| t2 |
| 4 |
| t |
| 2 |
| t |
| 2 |
（2）由（1）得f（x）=x2+2x，根据点(
| Sn+1 |
| Sn |
| Sn+1 |
| Sn |
| Sn+1 |
| Sn |
| Sn+1 |
| Sn |
| Sn |
| S1 |
解答：解：（1）f（x）=x2+tx=(x+
)2-
．…（1分）
①若-1≤-
＜0，即0＜t≤2，则当x=-
时，f（x）取得最小值-
，
依题意得-
=-1，解得t=2或t=-2（舍去）．…（3分）
②若-
＜-1即t＞2，则当x=-1时，f（x）取得最小值1-t，
依题意得1-t=-1，解得t=2（不合舍去）．…（5分）
综合①、②得t=2．…（6分）
（2）由（1）得f（x）=x2+2x，
∵点(
+
，
2an+1)在函数f（x）的图象上，
∴2an+1=(
+
)2+2(
+
)．
∴2(Sn+1-Sn)=(
+
)(
+
+2)，…（8分）
即2(
-
)(
+
)=(
+
)(
+
+2)．
∵an＞0，
∴Sn＞0，则
+
＞0．
∴2(
-
)=
+
+2，即
=3
+2．…（10分）
∴
+1=3(
+1)．
∴数列{
+1}是首项为
+1=2，公比为3的等比数列．…（12分）
∴
+1=2×3n-1．
∴Sn=(2×3n-1-1)2．…（14分）
| t |
| 2 |
| t2 |
| 4 |
①若-1≤-
| t |
| 2 |
| t |
| 2 |
| t2 |
| 4 |
依题意得-
| t2 |
| 4 |
②若-
| t |
| 2 |
依题意得1-t=-1，解得t=2（不合舍去）．…（5分）
综合①、②得t=2．…（6分）
（2）由（1）得f（x）=x2+2x，
∵点(
| Sn+1 |
| Sn |
∴2an+1=(
| Sn+1 |
| Sn |
| Sn+1 |
| Sn |
∴2(Sn+1-Sn)=(
| Sn+1 |
| Sn |
| Sn+1 |
| Sn |
即2(
| Sn+1 |
| Sn |
| Sn+1 |
| Sn |
| Sn+1 |
| Sn |
| Sn+1 |
| Sn |
∵an＞0，
∴Sn＞0，则
| Sn+1 |
| Sn |
∴2(
| Sn+1 |
| Sn |
| Sn+1 |
| Sn |
| Sn+1 |
| Sn |
∴
| Sn+1 |
| Sn |
∴数列{
| Sn |
| S1 |
∴
| Sn |
∴Sn=(2×3n-1-1)2．…（14分）
点评：本题以二次函数为载体，主要考查函数、数列等基本知识，考查运算求解能力和推理论证能力，解题的关键是构造新数列，利用等比数列的定义进行证明．
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