Question

问题：有两堆棋子，数目相同，两人游戏的规则是：两人轮流取棋子，每人可以从一堆中任意取棋，但不能同时从两堆取，取得最后一颗棋子的人获胜，求证后取棋子者一定可以获胜.

    设每堆棋子数目为n，你可以先试试能证明上述结论吗？

Answer 1

导思：分析题设中的数学思想，转化为数学问题，而本问题可以用数学归纳法证明.

探究：下面用第二数学归纳法证明.

证明：设每堆棋子数目为n.

（1）当n=1时，先取棋子者只能从一堆里取1颗，这样另一堆里留下的1颗就被后取棋子者取得，所以结论是正确的.

(2)假设当n≤k(k≥1)时结论正确，即这时后取棋子者一定可以获胜.

考虑当n=k+1时的情形.

    先取棋子者如果从一堆里取k+1颗，那么另一堆里留下的k+1颗就被后取棋子者取得，所以结论是正确的.

    先取棋子者如果从一堆里取棋子m(1≤m≤k)颗，这样，剩下的两堆棋子，一堆有k+1颗，另一堆有k+1-m颗，这时后取棋子者可以在较多的一堆里取m颗，使两堆棋子数目都是k+1-m颗，这时就变成了n=k+1-m的问题，而不论m是1—k的哪个整数，n=k+1-m都是不大于k的正整数，由归纳假设可知这时后取棋子者一定可以获胜.

于是，当n=k+1时结论正确.

    由（1）（2）知，根据第二数学归纳法，无论每堆棋子的数目是多少，后取棋子者都能获胜.