Question

4．已知函数y=x+$\frac{a}{x}$，（a＞0），
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求证：f（x）在区间$（{-∞，-\sqrt{a}}）$上是增函数；
（3）若a=4时，求该函数在区间[1，5]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性；
（2）利用函数单调性的定义即可证明f（x）在区间$（{-∞，-\sqrt{a}}）$上是增函数；
（3）若a=4时，结合函数单调性的性质即可求该函数在区间[1，5]上的值域．

解答 解：（1）函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
则f（-x）=-x-$\frac{a}{x}$=-（x+$\frac{a}{x}$）=-f（x），
则函数f（x）为奇函数；
（2）证明：设x₁＜x₂＜-$\sqrt{a}$，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{a}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{a}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）+$\frac{a（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-a}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁＜x₂＜-$\sqrt{a}$，
∴x₁-x₂＜0，
x₁x₂＞-$\sqrt{a}$（-$\sqrt{a}$）=a＞0，
即x₁x₂-a＞0，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在区间$（{-∞，-\sqrt{a}}）$上是增函数；
（3）若a=4时，则f（x）=x+$\frac{4}{x}$，
则函数f（x）在[1，2]上为减函数，则[2，5]上为增函数，
则函数的最小值为f（2）=2+$\frac{4}{2}$=2+2=4，
∵f（1）=1+4=5，f（5）=5+$\frac{4}{5}$=$\frac{29}{5}$，
∴最大值为f（5）=$\frac{29}{5}$，
则函数在区间[1，5]上的值域为[4，$\frac{29}{5}$]．

点评 本题主要考查函数奇偶性，单调性的判断和应用，利用定义法是解决本题的关键．