Question

已知A(2，1)，F(

2

，0)，P是曲线x²-y²=1（x＞0）上一点，当|PA|+

2

2

|PF|取最小值时，P的坐标是

 

，|PA|+

2

2

|PF|最小值是

 

．

Answer 1

分析：由题设条件易得a=1，c=

2

，根据双曲线的第二定义可知，

|PF|

|PB|

=

2

，∴

2

2

|PF|=|PB|，∴|PA|+

2

2

|PF|=|PA|+|PB|．由此可以求出当|PA|+

2

2

|PF|取最小值时，P的坐标和|PA|+

2

2

|PF|最小值．

解答：解：∵a=1，c=

2

，∴e=

2

，准线方程为x=

2

2

，过点P作PB⊥双曲线的准线，交双曲线准线与点B．
由双曲线的第二定义可知，

|PF|

|PB|

=

2

，
∴

2

2

|PF|=|PB|，∴|PA|+

2

2

|PF|=|PA|+|PB|．
由题意可知，连接AB，当AB⊥双曲线的准线时，|PA|+

2

2

|PF|=|PA|+|PB|取最小值，
此时点P的纵坐标为1，把y=1代入曲线x²-y²=1（x＞0）得x=

2

，
∴当|PA|+

2

2

|PF|取最小值时，P的坐标是 （

2

2

，1）．
由题设条件可知，|PA|+

2

2

|PF|=|PA|+|PB|的最小值是2-

2

2

．
答案：(

2

2

1)；2-

2

2

．

点评：本题考查双曲线的第二定义，解题时要注意进行等价转化．