Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+∅），（A＞0，ω＞0，0＜∅＜π），x∈R的最大值是2，最小正周期为2π，其图象经过点M(

π

2

，1)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调减区间；
（3）已知a∈(

π

2

，π)，且f(a+

2π

3

)=-

2

3

，求tan（2π-a）的值．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得A，ω，把点M（

π

2

，1）代入f（x）=2sin（x+∅）（0＜∅＜π）可求得∅，从而可得f（x）的解析式；
（2）利用2kπ+

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

即可求得函数f（x）的单调减区间；
（3）利用诱导公式与同角三角函数间的基本关系可求得sinα=

1

3

，cosα=-

2 2

3

，从而可求得tan（2π-α）．

解答：解：（1）由题意得：A=2，ω=

2π

T

=1，
所以f（x）=2sin（x+∅），
把点M（

π

2

，1）代入得：2sin（

π

2

+∅）=1，
即cos∅=

1

2

，又0＜∅＜π，
所以∅=

π

3

，f（x）=2sin（x+

π

3

）．
（2）令z=x+

π

3

．函数y=sinz的单调递减区间是：[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，
由2kπ+

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，2kπ+

π

6

≤x+

π

3

≤2kπ+

7π

6

（k∈Z），
所以函数f（x）的单调减区间是[2kπ+

π

6

，2kπ+

7π

6

]（k∈Z）．
（3）f（α+

2π

3

）=2sin[（α+

2π

3

）+

π

3

]=2sin（α+π）=-2sinα=-

2

3

，
即sinα=

1

3

；
又因为α∈（

π

2

，π），所以cosα=-

1-sin2α

=-

1-( 1 3 )2

=-

2 2

3

，
所以tan（2π-α）=-tanα=-

sinα

cosα

=-

1 3

- 2 2 3

=-

2

4

．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的单调性与同角三角函数间的基本关系，属于中档题．