Question

用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如下图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

Answer 1

答案：
解析：

探究：设容器高为x cm，容器的容积为V(x)cm3，则 　　V(x)＝x(90－2x)(48－2x) 　　＝4x3－276x2＋4 320x(0＜x＜24)． 　　求V(x)的导数，得 　　(x)＝12x2－552x＋4 320 　　＝12(x2－46x＋360) 　　＝12(x－10)(x－36)． 　　令(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)． 　　当0＜x＜10时，(x)＞0，那么V(x)为增函数； 　　当10＜x＜24时，(x)＜0，那么V(x)为减函数． 　　因此，在定义域(0，24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19 600(cm3)． 　　所以当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3． 　　规律总结：本题主要考查函数的概念，运用导数求函数最值的方法，以及运用数学知识建立简单数学模型并解决实际问题的能力．实际应用问题要根据题目的条件，写出相应关系式，是解决此类问题的关键．