Question

用长为90 cm、宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图).问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

Answer 1

解：设容器高为x cm,容器的容积为V(x) cm³,则V(x)=x(90-2x)(48-2x)=4x³-276x²+4 320x(0＜x＜24).

    求V(x)的导数,得

V′(x)=12x²-552x+4 320

=12(x²-46x+360)

=12(x-10)(x-36),

    令V′(x)=0,得x₁=10,x₂=36(舍去).

    当0＜x＜10时,V′(x)＞0,那么V(x)为增函数;

    当10＜x＜24时,V′(x)＜0,那么V(x)为减函数.

    因此,在定义域(0,24)内,函数V(x)只有当x=10时取得最大值,其最大值为V(10)=10×(90-20)×(48-20)=19 600(cm³).

答:当容器的高为10 cm时,容器的容积最大,最大容积为19 600 cm³.