Question

（本小题满分14分）

已知双曲线的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点。

（1）求直线与交点的轨迹的方程；

（2若过点的两条直线和与轨迹都只有一个交点，且，求的值。

Answer 1

（1）解：由为双曲线的左右顶点知，

，，两式相乘，

因为点在双曲线上，所以，即，故，

所以，即直线与交点的轨迹的方程为.

（2）解法1：设，则由知，。

将代入得

，即，

由与E只有一个交点知，，即。

同理，由与E只有一个交点知，，消去得，即，

从而[来，又，。

解法2：由题意知直线和都是椭圆E的切线，由对称性知，两直线的倾斜角分别为和，设其方程为，代入椭圆E的方程得

，即

由得，即，

，