Question

【题目】设函数， ， .

（1）讨论的单调性；

（2）当时，函数的图像上存在点在函数的图像的下方，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）①当时， 在在上单调递增， 上单调递减；②当时， 在， 上单调递增；在上单调递减；③当时， 在上单调递增；④当时， 在， 上单调递增，在上单调递减；（2）.

【解析】试题分析：（1）对函数求导，对进行分类讨论，结合导数的正负即可确定函数的单调性；（2）由函数的图像上存在点在函数的图像的下方，可推出，使得成立，即， 有解，设，求出函数的单调性与最小值，从而可得的取值范围.

试题解析：(1) ，

①当时， 在在上单调递增， 上单调递减；

②当时， 在， 上单调递增；在上单调递减；

③当时， 在上单调递增；

④当时， 在， 上单调递增，在上单调递减;

(2)∵函数的图像上存在点在函数的图像的下方，可知，使得成立， ，即， 有解， 设， ，

令，则当时， ，所以在上递增，

，

存在唯一的零点，且当时， ，

当时， ，则当时， ， 单调递减，

当时， ， 单调递增，

故，

由,可得， ，

，

，即实数的取值范围是.