Question

已知直线L：x=my+1过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．
（1）若抛物线x2=4

3

y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
（2）对于（1）中的椭圆C，若直线L交y轴于点M，且

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，当m变化时，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线x2=4

3

y的焦点为（0，

3

），且为椭圆C的上顶点，可得b²=3，又F（1，0），可得c=1，从而可得a²=b²+c²=4，故可求椭圆C的方程；
（2）l与y轴交于M(0，-

1

m

)，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由

x=my+1 3x2+4y2-12=0

可得：（3m²+4）y²+6my-9=0，故△=144（m²+1）＞0，利用韦达定理可得

1

y1

+

1

y2

=

2m

3

，根据

MA

=λ1

AF

，可得λ1=-1-

1

my1

，同理λ2=-1-

1

my2

，从而可求λ₁+λ₂的值．

解答：解：（1）抛物线x2=4

3

y的焦点为（0，

3

），且为椭圆C的上顶点
∴b=

3

，∴b²=3，
又F（1，0），∴c=1，a²=b²+c²=4．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）l与y轴交于M(0，-

1

m

)，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
由

x=my+1 3x2+4y2-12=0

可得：（3m²+4）y²+6my-9=0，故△=144（m²+1）＞0．
∴y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

∴

1

y1

+

1

y2

=

2m

3

．
又由

MA

=λ1

AF

，得(x1，y1+

1

m

)=λ1(1-x1，-y1)．
∴λ1=-1-

1

my1

．
同理λ2=-1-

1

my2

．
∴λ1+λ2=-2-

1

m

(

1

y1

+

1

y2

)=-2-

2

3

=-

8

3

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交，考查向量知识的运用，解题的关键是联立方程组，利用韦达定理解题．