Question

已知椭圆┍的方程为+=1（a＞b＞0），点P的坐标为（-a，b）．
（1）若直角坐标平面上的点M、A（0，-b），B（a，0）满足=（+），求点M的坐标；
（2）设直线l₁：y=k₁x+p交椭圆┍于C、D两点，交直线l₂：y=k₂x于点E．若k₁•k₂=-，证明：E为CD的中点；
（3）对于椭圆┍上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆┍上存在不同的两个交点P₁、P₂满足+=，写出求作点P₁、P₂的步骤，并求出使P₁、P₂存在的θ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设M（x，y） 根据=（+）分别用三点的坐标表示出三个向量，进而解得x和y，则M点坐标可得．
（2）直线l₁与椭圆方程联立消去y，根据判别式求得，a²k₁²+b²-p²＞0，设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD中点坐标为（x，y），利用韦达定理可求得x₁+x₂的表达式，进而求得x，代入直线方程求得y，两直线方程联立根据直线l₂的斜率求得x=x，y=y
进而判断出E为CD的中点；
（3）先求出PQ的中点的坐标，进而求出直线OE的斜率，再由+=，知E为CD的中点，根据（2）可得CD的斜率，直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，进而求得q的取值范围．
解答：解：（1）设M（x，y）
∵=（+），
∴2（x+a，y-b）=（a，-2b）+（2a，-b）
∴，
解得x=y=-
M点坐标为（，-）
（2）由方程组，消y得方程（a²k_′1+b²）x²+2a²k₁px+a²（p²-b²）=0，
因为直线l₁：y=k₁x+p交椭圆于C、D两点，所以△＞0，即a²k₁²+b²-p²＞0，
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD中点坐标为（x，y），
则x==-，y=k₁x+p=，由方程组，消y得方程（k₂-k₁）x=p，
又因为k₂=-，所以x==x，y=k₂x=y
故E为CD的中点；
（3）求作点P₁、P₂的步骤：
1°求出PQ的中点E（-，），
2°求出直线OE的斜率k₂==，
3°由+=，知E为CD的中点，根据（2）可得CD的斜率k₁=，
4°从而得直线P₁P₂的方程：y-=（x+），
5°将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P₁、P₂的坐标．
欲使P₁、P₂存在，必须点E在椭圆内，
所以+＜1，化简得sinθ-cosθ＜，∴sin（θ-）＜，
又0＜q＜p，所以-＜θ-＜arcsin，
故q的取值范围是（0，+arcsin）
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的前提是要求学生对基础知识有相当熟练的把握．