Question

已知z₁=3i，z₂=3，z₃=sinα+icosα，α∈[0，2π），z₁，z₂，z₃在平面上对应的点为A，B，C．
（1）若|AC|=|BC|，求α的值；
（2）若，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用两点间的距离公式求出|AC|和|BC|，由|得sinα=cosα，即tanα=1，再由α∈[0，2π），求得α的值．
（2）由=（sinα，cosα-3）•（sinα-3，cosα）=-1，可得（sinα+cosα）=，平方求得2sinαcosα=-．利用同角三角函数的基本关系，化简要求的式子为2sinαcosα，从而
得出结果．
解答：解：（1），
．
由|得sinα=cosα，即tanα=1，∵α∈[0，2π），∴α=或α=．---------（7分）
（2）由=（sinα，cosα-3）•（sinα-3，cosα）=-1，
得sinα（sinα-3）+cosα（cosα-3）=-1，1-3（sinα+cosα）=-1，（sinα+cosα）=．
两边平方得1+2sinαcosα=，2sinαcosα=-．
∴原式=．---------（14分）
点评：本题主要考查两点间的距离公式，两个向量的数量积公式的应用，同角三角函数的基本关系，根据三角函数的值求角，属于中档题．