Question

已知z₁=3i，z₂=3，z₃=sinα+icosα，α∈[0，2π），z₁，z₂，z₃在平面上对应的点为A，B，C．
（1）若|AC|=|BC|，求α的值；
（2）若

AC

•

BC

=-1，求

2sin2α+sin2α

1+tanα

的值．

Answer 1

分析：（1）利用两点间的距离公式求出|AC|和|BC|，由|

AC

|=|

BC

|得sinα=cosα，即tanα=1，再由α∈[0，2π），求得α的值．
（2）由

AC

•

BC

=（sinα，cosα-3）•（sinα-3，cosα）=-1，可得（sinα+cosα）=

2

3

，平方求得2sinαcosα=-

5

9

．利用同角三角函数的基本关系，化简要求的式子为2sinαcosα，从而
得出结果．

解答：解：（1）|

BC

|=

(sinα-3)2+cos2α

=

10-6sinα

，
|

AC

|=

(cosα-3)2+sin2α

=

10-6cosα

．
由|

AC

|=|

BC

|得sinα=cosα，即tanα=1，∵α∈[0，2π），∴α=

π

4

或α=

5π

4

．---------（7分）
（2）由

AC

•

BC

=（sinα，cosα-3）•（sinα-3，cosα）=-1，
得sinα（sinα-3）+cosα（cosα-3）=-1，1-3（sinα+cosα）=-1，（sinα+cosα）=

2

3

．
两边平方得1+2sinαcosα=

4

9

，2sinαcosα=-

5

9

．
∴原式=

2sinα(sinα+cosα)

sinα+cosα cosα

=2sinαcosα=-

5

9

．---------（14分）

点评：本题主要考查两点间的距离公式，两个向量的数量积公式的应用，同角三角函数的基本关系，根据三角函数的值求角，属于中档题．