Question

11．已知点F（c，0）（c＞0）是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点，F关于直线y=$\sqrt{3}$x的对称点A也在该椭圆上，则该椭圆的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{3}$+2
• B． $\sqrt{3}$-1
• C． -$\sqrt{3}$+1
• D． -$\sqrt{3}$+2

Answer 1

分析 求出F（c，0）关于直线y=$\sqrt{3}$x的对称点A的坐标，代入椭圆方程可得离心率．

解答 解：设F（c，0）关于直线y=$\sqrt{3}$x的对称点A（x₁，y₁），
则$\frac{{y}_{1}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x₁+c）①，且$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-c}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$②．
联立①②解得：x₁=-$\frac{1}{2}$c，y₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，即A（-$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），
代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1得：$\frac{\frac{{c}^{2}}{4}}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{3{c}^{2}}{4}}{{b}^{2}}$=1．
由e=$\frac{c}{a}$，b²=a²-c²，
化简可得e⁴-8e²+4=0，
解得：e=$\sqrt{3}$-1．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的方程和简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力，是中档题．