Question

已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，使得平面BC′D⊥平面ABD．
（Ⅰ）求证：C′D⊥平面ABD；
（Ⅱ）求直线BD与平面BEC′所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意可得翻折成△BC'D以后线段的长度不发生变化，所以可得CD=6，BC′=BC=10，BD=8，即BC′²=C′D²+BD²，故C′D⊥BD．，再结合面面垂直的性质定理可得线面垂直．
（II）根据题意建立空间直角坐标系，求出直线所在的向量与平面的法向量，再利用向量的有关知识求出两个向量的夹角，进而可求直线BD与平面BEC′所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，
沿直线BD将△BCD翻折成△BC′D，可知CD=6，BC′=BC=10，BD=8，
即BC′²=C′D²+BD²，
故C′D⊥BD．
∵平面BC'D⊥平面ABD，平面BC′D∩平面ABD=BD，C′D?平面BC′D，
∴C′D⊥平面ABD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知C′D⊥平面ABD，且CD⊥BD，
如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），A（8，6，0），B（8，0，0），C'（0，0，6）．
∵E是线段AD的中点，
∴E（4，3，0），

BD

=（-8，0，0），．
在平面BEC′中，

BE

=（-4，3，0），

BC′

=（-8，0，6），
设平面BEC′法向量为

n

=（x，y，z），
∴

-4x+3y=0 -8y+6z=0

，
令x=3，得y=4，z=4，故

n

=（3，4，4）．…（9分）
设直线BD与平面BEC′所成角为θ，则sinθ=|cos＜

n

，

BD

＞|=|

n • BD

| n || BD |

|=

3 41

41

∴直线BD与平面BEC′所成角的正弦值为

3 41

41

．

点评：本题重点考查线面垂直、线面角以及翻折问题，考查向量知识的运用，学生必须要掌握在翻折的过程中，哪些是不变的，哪些是改变，这也是解决此类问题的关键．